доказать что n^5-n делится на 5

446,16 Kb.страница4/5имени М.ВДата конвертации22.09.2011Размер446,16 Kb.Тип Смотрите также:       4   Задачи для самостоятельного решения 1.Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел: а) 846 и 246; б) 1960 и 588; в) 15283 и 10013; г) 42628 и 33124. 2. Сократите дробь 3. Приведите дроби и к одному знаменателю. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 846 и 246; б) 1960 и 588. 5. Найдите а и b, если известно, что: 44 а) а: b = 11: 13, D (а; b) = 5; б) D(а; b) = 5, К (а; b) =165; в) D (а; b) = 7, аb = 294; г) К (а; b) = 75, аb = 375; д) а: b = 7:8, К (а; b) = 224. Признаки делимости Задачи для самостоятельного решения 1. В числе 1234567 укажите последнюю цифру так, чтобы число делилось на: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 8; е) 11; з) 25. 2. Докажите, что число: а) 100P100 1; б) 10 n + 35 составное. 3. Докажите, что число: а) 19 1990 - 34 10; б) 34 1990 19 10 кратно 5. 4. Замените звёздочки в записи числа 72 цифрами так, чтобы это число делилось без остатка на 45. 5 Число 82 делится на 90. Найдите делимое. 6.Найти цифры х и у пятизначного числа 42х4у, если известно, что это число делится на 72. Сравнения. Периодичность остатков при возведения в степень Определение. Если два числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что а и b сравнимы по модулю m, и пишут: а Запись а можно прочитать так: а сравнимо с b по модулю m; это означает, что а и b имеют одинаковые остатки при делении на m. 45 Сравнения это другая запись свойств делимости. С помощью этой записи можно проще и короче объяснить некоторые из них. Например, числа 12 и 27 сравнимы по модулю 5 (27 ), так как 27 12 =15, а число 15 делится на 5. То же самое можно было объяснить и так: 12 = 5 g 2 + 2, 27 = 5 g 5 + + 2, откуда видно, что 12 и 27 имеют одинаковые остатки при делении на 5. Свойства сравнений: 1) Сравнимость чисел а и b по модулю m равносильна возможности представить число а виде а = b + mt, где t- целое. Например, 43 и 43 = 1 + 6 g 7. 2) Каждое число а сравнимо с самим собой по произвольному модулю, т.е. а 3) Если а и b с (mod m), то а Например, 9 5(mod 4) и 13 5(mod 4), а, значит, 9 13(mod 4). 4) Сравнения с общим модулем можно почленно складывать (или вычитать). Например, 23 3(mod 5) и 9 24(mod 5), а следовательно 32 27(mod5). 5) Сравнения можно почленно перемножить и возводить в степень, например: 9 5(mod 4), следовательно: а) 90 50(mod 4) - обе стороны умножены на 10; б) 81 25(mod 4) обе стороны возведены в квадрат. 46 6) Сравнение а имеет место в том и только в том случае, если разность а b делится на m. Пример 1. Докажите, что число при делении на 7 даёт в остатке 1. Решение: Имеем: Теперь, умножая обе части полученного сравнения на 2, получим: Вычитаем затем 1 из обеих частей последнего сравнения: откуда и следует, что число при делении на 7 даёт в остатке 1. Пример 2. Найти остаток от деления числа на 7. Решение: Так как 222 = 7 31 + 5 , то 222 5 (mod 7), и поэтому Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятёрки при делении на 7. Находим: 5 Итак, Возводя в степень k , получаем: ) при любом натуральном k. Но 555 = 6 g 92+ 3. Поэтому 47 Таким образом, число даёт при делении на 7 остаток 6. Задачи для самостоятельного решения 1. Делится ли число на 7? 2. Найдите остаток от деления числа на 11. 3. Найдите остаток от деления числа на 13. 4. Докажите, что число делится на 100. 5. Делится ли число на 10? 6. Найдите остаток от деления числа на 24. 7. Докажите, что число делится на 1001. 8. Найдите остаток от деления числа 2P100 на 7. 9. Какой цифрой оканчивается число 777P777? 10. Какой цифрой оканчивается число ? Формулы сокращенного умножения (а a b)2 = а2 a 2аb + b2; (а1 + а 2+ ggg + а n)2 = а 12 + а 22+ ggg + а n2 + 2а 1а 2 + 2а1а 3 + ggg + + 2а n-1а n; (а a b)3 = а3 a 3а 2b+ 3аb 2 a b 3; а2- b2 = (а + b)(а b); аn- bn = (а b)(а

Факультативный курс по математике 7 класс

Факультативный курс по математике 7 класс - страница 4